TEMA 1. MATRIUS

Taules numèriques Files i columnes

Matrius

Igualtat de matrius

Tipus especials de matrius

Suma i diferència de matrius

Producte d'un nombre real per una matriu

Propietats simplificatives

Producte de matrius

Inversa d'una matriu quadrada

Files (o columnes) linealment dependents

Files (o columnes) linealment independents

Rang o característica d'una matriu

Matriu associada a un graf

Matrius associades a diferents moviments del pla

Matrius estocàstiques

Cadenes de Markov

TEMA 2. DETERMINANTS

Determinant d'una matriu quadrada de segon orde.

Determinant d'una matriu quadrada de tercer orde .

Matriu complementària d'un element.

Adjunt d'un element d'una matriu.

Definició per recurrència de determinant d'una matriu de qualsevol orde.

Propietats dels determinants.

Matriu inversa d'una matriu quadrada en funció del seu determinant i de la transposada del seu matriu adjunta.

TEMA 3. RESOLUCIÓ DE SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS

• Notació ordinària de sistemes d'equacions lineals.

• Sistemes homogenis.

• Sistemes compatibles determinats.

• Sistemes compatibles indeterminats.

• Sistemes incompatibles.

• Notació matricial d'un sistema d'equacions lineals: matriu del sistema i matriu ampliada.

• Sistemes equivalents. Criteris d'equivalència.

• Teorema de Rouché.

• Mètode de Gauss per a la resolució d'un sistema d'equacions lineals.

• Mètode de Cramer per a la resolució d'un sistema d'equacions lineals.

TEMA 4. ELS VECTORS EN L'ESPAI

• El conjunt 3. Operacions: suma i producte per nombres reals.

• Vector fix de l'espai. Mòdul, direcció i sentit d'un vector fix.

• Vectors equipolents. Vector lliure de l'espai. Mòdul, direcció i sentit d'un vector lliure.

• Representant d'un vector lliure de l'espai. Representant d'un vector lliure amb un cert origen prèviament fixat.

• Operacions amb vectors lliures: suma de vectors i producte d'un nombre real per un vector.

• Combinació lineal i dependència lineal de vectors. Bases de V3. Coordenades d'un vector lliure.

• Producte escalar de dos vectors lliures. Propietats. Interpretació geomètrica. Expressió analítica. Mòdul d'un vector. Angle de dos vectors.

• Producte vectorial de dos vectors lliures. Propietats. Interpretació geomètrica. Expressió analítica.

• Producte mixt de tres vectors lliures. Propietats. Interpretació geomètrica. Expressió analítica.

TEMA 5. EQUACIONS DE RECTES I PLANS

• Coordenades cartesianes d'un vector lliure .

• Coordenades del punt mitjà d'un segment.

• Coordenades del baricentre d'un triangle i del baricentre d'un tetraedre.

• Equació vectorial de la recta.

• Equacions paramètriques de la recta.

• Equació de la recta en forma contínua.

• Equació de la recta determinada per dos punts.

• Equació vectorial del pla.

• Equacions paramètriques del pla.

• Equació general del pla.

• Equació normal del pla.

• Equació segmentària del pla.

• Equació d'un pla determinat per una recta i un punt exterior a ella.

TEMA 6. POSICIONS DE RECTES I PLANS

• Posicions de dos plans: plans assecants, paral•lels i coincidents.

• Equacions implícites d'una recta: recta determinada per la intersecció de dos plans.

• Feix de plans paral•lels.

• Posicions de tres plans.

• Posició de triedre. Posició de superfície prismàtica.

• Feix de plans assecants. Aresta del feix.

• Posicions d'una recta i d'un pla: recta i pla assecants, recta paral•lela al pla i recta continguda en el pla.

• Posicions de dues rectes: rectes assecants, rectes paral•leles, rectes que s'encreuen i rectes coincidents.

TEMA 7. PROPIETATS MÈTRIQUES

• Angle de dues rectes, de dos plans o de recta i pla.

• Ortogonalitat i paral•lelisme de rectes i plans. Distància entre dos punts. Distància d'un punt a un pla.

• Distància entre plans paral•lels.

• Distància d'un punt a una recta. Distància entre rectes paral•leles.

• Distància entre rectes que s'encreuen.

• Pla mediador d'un segment.

• Pla bisector de l'angle format per dos plans no paral•lels.

• Perpendicular comú a dues rectes que s'encreuen.

• Àrea d'un triangle determinat per les coordenades dels seus vèrtexs.

• Volum d'un tetraedre determinat per les coordenades dels seus vèrtexs.

TEMA 8. SUCCESSIONS I LÍMITS

•Successions de nombres reals: índexs, termes i terme general.

•Exemples de successions: progressions aritmètiques i progressions geomètriques.

•Monotonia d'una successió: creixement i creixement estricte.

•Successions fitades: cotes superiors i fites inferiors.

•Operacions amb successions: suma i diferència, producte per un nombre, producte de successions, quocient i potència d'una successió.

•Límit d'una successió. Successions convergents.

•Successions de límit infinit.

•Operacions i límits.

•Expressions indeterminades.

TEMA 9. LÍMITS I CONTINUÏTAT

• Funció real de variable real.

• Límit d'una funció.

• Límits determinats i límits indeterminats.

• Continuïtat d'una funció en un punt i en un interval.

• Tipus de discontinuïtats.

• Extrems absoluts d'una funció. Funcions fitades.

• Teorema del màxim-mínim o de Weierstrass.

• Teorema de les arrels o de Bolzano.

TEMA 10. TAXES DE VARIACIÓ I DERIVADES

• Taxes de variació mitjana i instantània.

• Derivada d'una funció en un punt.

• Funció derivable.

• Derivades laterals d'una funció en un punt.

• Funció derivada.

• Derivades successives d'una funció.

• Derivada de les operacions amb funcions.

• Derivada de la composició de funcions. Derivada de la funció recíproca.

• Derivades de les funcions de tipus potencial, logarítmica, exponencial, potencial-exponencial i trigonomètriques.

TEMA 11.CÀLCUL DE DERIVADES

• • Derivada de la funció f(x) = Lx.

• Derivada de la funció f(x) = sin x.

• Derivada de les operacions amb funcions.

• Derivada de la composició de funcions.

• Derivada de la funció recíproca.

• Derivades de les funcions de tipus potencial, logarítmica, exponencial, potencial-exponencial i trigonomètriques.

TEMA 12. FUNCIONS DERIVABLES: PROPIETATS LOCALS I GLOBALS

• Recta tangent a una funció en un punt.

• Pendent de la recta tangent.

• Diferencial d'una funció.

• Màxims i mínims relatius d'una funció. Derivada en un punt màxim o mínim.

• Teorema de Rolle. Interpretació geomètrica.

• Teorema del valor mitjà o de Lagrange. Interpretació física i geomètrica.

• Conseqüències del teorema del valor mitjà: regla de L'Hôpital.

TEMA 13. MONOTONIA I CURVATURA

• Creixement i decreixement d'una funció en un interval.

• Teorema fonamental de monotonia.

• Extrems relatius d'una funció.

• Curvatura. Concavitat i convexitat d'una funció en un interval.

• Relació entre la derivada primera i la curvatura.

• Relació entre la derivada segona i la curvatura.

• Punts d'inflexió d'una funció.

Problemes d’optimització

TEMA 14. ESTUDI I REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS

• Regions gràfiques d'una funció.

• Funcions parelles i imparelles.

• Funció periòdica.

• Punts de discontinuïtat d'una funció.

• Asímptotes verticals, horitzontals i obliqües d'una funció.

• Funcions oposades.

• Funcions parelles entre si.

• Funcions recíproques.

• Dilatació i contracció d'una funció segons els eixos de coordenades.

TEMA 15. INTEGRALS INDEFINIDES

• Primitiva d'una funció.

• Integral indefinida.

• Propietats lineals de la integració.

• Tipus fonamentals d'integració.

• Mètode de canvi de variable.

• Mètode d'integració per parts.

• Descomposició d'una fracció polinòmica en fraccions simples.

• Transformació de funcions trigonomètriques.

TEMA 16. INTEGRAL DEFINIDA I APLICACIONS

• Àrea sota una corba.

• Aproximacions de l'àrea sota un corba.

• Integral de Darboux: integral definida com a límit de sumes superiors, inferiors i trapezoïdals.

• Integral de Riemann: integral definida com a límit de rectangles mitjans.

• Propietats de la integral definida.

• Teorema del valor mitjà del càlcul integral.

• Funció integral.

• Derivada de la funció integral.

• Teorema fonamental del càlcul integral.

• Regla de Barrow.

DALT